Problemas con palillos

Una de las actividades de la semana fueron unos ejercicios con palillos. Me imagino que esto fue para desarrollar nuestras habilidades espaciales. Me parecio entretenido, aunque bastante simple :/

Como lo siguiente:

Trabajar hacia atras

Consiste en que, a partir del dato final o la solución se debe ir pensando  hacia atrás paso por paso hasta llegar a los datos originales. El procedimiento se realiza por medio de la secuencia de pasos al contrarios para ir de los datos conocidos a la solución. 

Este método me gusta bastante, es de operaciones básicas, pero es casi infalible en problemas secuenciales para determinar un valor determinado después de varias transacciones.

Métodos de Polya: Hacer un Cuadro o Tabla

El método “Hacer una Tabla” es útil cuando se resuelven problemas que tienen que ver con relaciones numéricas. Cuando los datos se organizan en una tabla, es más fácil reconocer patrones y relaciones entre números. Apliquemos esta estrategia al siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Josie decide comenzar a practicar el trote (jogging). Durante la primera semana, ella trota 10 minutos cada día; en la segunda semana, trota 12 minutos cada día. Cada semana, ella quiere incrementar su tiempo de trote diario en 2 minutos. Si ella trota 6 días cada semana, ¿Cuál será el tiempo total de trote durante la sexta semana?

Solución

Paso 1

Entender

Sabemos que durante la primera semana Josie trota 10 minutos cada dia, durante 6 días.

Sabemos que durante la segunda semana Josie trota 12 minutos cada día, durante 6 días.

Cada semana, ella incrementa en 2 minutos su tiempo de trote diario. Además, ella siempre practica el trote 6 veces a la semana.

Queremos conocer el tiempo total de trote en la sexta semana.

Paso 2

Estrategia

Una buena estrategia es hacer colocar los datos que nos proporciona el enunciado del problema en un tabla. Luego debemos usar la información proporcionada para encontrar nueva información. Podemos hacer la tabla con los siguientes encabezados.

Semana	Minutos por día	Minutos por Semana

El enunciado del problema nos dice que Josie trota 10 minutos al día, por 6 días durante la primera semana. También nos dice que ella trota 12 minutos al día, por 6 días en la segunda semana. Podemos entonces añadir toda esta información en nuestra tabla:

Semana	Minutos por día	Minutos por semana
1	10	60
2	12	72

El enunciado del problema te indica que, cada semana, Josie incrementa su tiempo diario de trote en 2 minutos cada semana y que trota 6 veces por semana. Puedes utilizar esta información para completar la table hasta llegar a la sexta semana.

Semana	Minutos por día	Minutos por semana
1	10	60
2	12	72
3	14	84
4	16	96
5	18	108
6	20	120

Paso 3

Aplicar estrategia/Resolver

Para obtener la respuesta leemos la cantidad de minutos por semana correspondientes a la sexta semana.

Respuesta En la sexta semana, Josie trota un total de 120 minutos.

Paso 4

Comprobar

Josie incrementa su tiempo de trote diario en 2 minutos cada semana. Ella trota seis días por semana.

Esto significa que, cada semana, ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos cada semana.

En otras palabras, Josie comienza con 60 minutos por semana y luego ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos por semana, durante 5 semanas.

Esto significa que el tiempo total de trote para la sexta semana =60+12×5=120 minutos

La respuesta ha sido comprobada

Puedes ver que al hacer una tabla fuimos capaces de organizar y clarificar la información proporcionada por el enunciado del problema. Dicha estrategia también nos ayudó en los siguientes pasos del problema. Este problema fue resuelto sencillamente a través de una tabla que contenía la información adecuada. En muchas situaciones, esta estrategia puede ser utilizada en conjunto con otras para encontrar la solución apropiada a un problema dado.

Tomado de: CK-12, http://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-I-Edicin-Espaola/section/1.8/

Metodos de Polya: Buscar un Patron

A mi me ha costado bastante este método de razonamiento principalmente porque me encanta usar ecuaciones para resolver problemas. Busco crear siempre una ecuación que lo resuelva, pero no siempre se puede resolver así, por tanto, profundizare un poco en este método.

Que se hace?
La primer cosa que se tiene que hacer para resolver un problema es empezar a jugar con él. Haciendo casos pequeños y viendo cómo se comporta es posible encontrar un patrón que nos permita hacer una conjetura.

Adjuntare unos vídeos como ejemplos de aplicación.

Buscar un patrón y sumas de números consecutivos

Seguimos buscando patrones. En este problema intentamos descubrir cuáles números se pueden escribir como suma de números consecutivos.

Buscar un patrón: Problema de sucesiones

Ahora presentamos un problema con una sucesión que cumple una recursión curiosa y lo resolvemos completamente.

Métodos de Polya: Ensayo y Error

La técnica de ensayo y error, muy útil en la resolución de problemas, consiste en llevar a cabo
los siguientes pasos:

− Elegir un valor posible
− Imponer a ese valor las condiciones dadas en el problema
− Probar si se ha alcanzado el objetivo esperado.

Si el resultado no es le esperado se repite todo el proceso con otro valor, y así sucesivamente,
hasta alcanzar el objetivo deseado.

Cuando se trabaja con esta estrategia conviene contrastar cada ensayo para ver si el resultado nos
acerca o nos aleja más del objetivo buscado.

Ejemplo:

Resolución 
(Tomado de: http://www.redes-cepalcala.org/inspector/DOCUMENTOS%20Y%20LIBROS/MATEMATICAS/RESOLUCION%20DE%20PROBLEMAS.pdf)
El problema se puede resolver probando con parejas de números que verifiquen las condiciones
del problema.

Para proceder de manera sistemática y exhaustiva en la búsqueda de soluciones conviene
organizar los posibles ensayos o tanteos en forma de tablas como la que sigue y es fundamental
analizar las soluciones y descartar las que no sean lógicas.

Evidentemente el problema puede resolverse también por métodos algebraicos.
Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Si “x” e “y” son las dos cifras de las que se
componen ambas edades, se tiene que P= 10x + y mientras que H= 10y + x

Sin embargo la tercera respuesta no sería una solución posible

Método de Cuatro Pasos de Polya

El método de cuatro pasos de Polya esta diseñado para aplicarse con distintos razonamientos y obtener un proceso estructurado durante la resolución de una situación por resolver.

1. Comprender el Problema
2. Formular un plan
3. Llevar a cabo un plan
4. Revisar y comprobar

Comprobar el problema

Para poder solucionar un problema, debemos conocer que es lo que se busca resolver, el problema debe ser leído y analizado. 

Formular un Plan

El plan es la estrategia o forma por la que resolveremos el problema. 

Lleva a cabo un plan

Al saber en que forma o dirección resolveremos el problema, se ejecuta el plan o estrategia seleccionada hasta encontrar la solución o hasta que el problema emita otra necesidad.

Revisar y Comprobar

Consiste en corroborar la respuesta, verificar que sea razonable y que cumpla con las necesidades planteadas.

Utilizar este método de resolución me pareció una perdida de tiempo, cuando el problema a resolver es sencillo. Simplemente da la impresión de gastar el tiempo escribiendo de mas. Pero no es un secreto que se debe de aplicar un nuevo conocimiento a las cosas mas sencillas para poderlo aplicar en situaciones mas complicadas. Estoy seguro que en un problema que este diseñado para confundir al que se atreva a resolverlos, este método de Polya nos podrá ayudar bastante a resolverlo sin perdernos tanto. 

Kakuros

Kakuros

Presentamos este tutorial, que es una traducción al español del que viene como animación flash en la página de la revista japonesa Nikoli.
El Kakuro es un pasatiempo numérico, de la familia del sudoku.

En el Kakuro se deben partir números en sumas de números más pequeños que se colocarán en las celdas correspondientes.

Las celdas blancas han de rellenarse con números del 1 al 9. Por ejemplo, en las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 5, y en principio pueden venir en cualquier orden (podrían ser, por ejemplo, 1 y 4, 4 y 1, 2 y 3, 3 y 2).

En las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 14.

Los números no se pueden repetir en celdas consecutivas. El siguiente ejemplo puede ser correcto:

Pero el siguiente ejemplo no lo es, porque no se deben repetir números en la suma:

En la siguiente figura, hay dos números 1, pero es correcto, porque no están en celdas consecutivas y no pertenecen a la misma suma:

Empecemos a resolver el kakuro. Fijémonos en la suma 4 de abajo a la derecha. Para obtener 4 sólo se puede hacer sumando 1 y 3, pero no sabemos en qué orden:

Pero si nos fijamos en el 3 que está a la derecha, sólo se puede obtener sumando 1 y 2, y los números se pueden colocar en dos órdenes posibles:

El número común a la suma del 4 y del 3 es 1, luego el 1 debe ir en la celda común a ambos:

Al colocar el 1 entonces ya se pueden rellenar las celdas que faltan:

Continuamos con las otra suma de 3 que hay en el centro. Hay dos posibilidades:

Pero de las dos posibilidades representadas, sólo es válida la de la izquierda, porque en la de la derecha el 2 se repetiría en la misma fila.

Ya podemos completar la suma 10. Hemos de tener en cuenta que cuatro casillas que sumen 10 sólo admiten los números 1, 2, 3 y 4. Como ya están colocados el 1 y el 2, basta completar con el 3 y el 4 adecuadamente para que no haya repetición en las columnas.

Ahora vamos a observar otro tipo de razonamiento. Fijémonos en la suma 6 de dos casillas, al centro a la izquierda, y en la suma 14, en columna, a la izquierda. Ambas sumas tienen una casilla en común.

La suma 6 en dos casillas se puede expresar de varias formas: 1 y 5, 2 y 4. Lo mismo pasa con el 14, que se puede descomponer en 5 y 9, ó en 6 y 8. Pero si en la casilla señalada hay un número igual o mayor que 6, no sería compatible con la suma 6, y si en la casilla señalada el número fuera igual o menor que 4, entonces para completar la suma de 14 tendríamos que tener 10 o más. Luego las siguientes dos posibilidades son erróneas:

El número de la casilla señalada debe ser, por tanto, un 5, para que así sea compatible con las dos sumas.

Siguiendo este tipo de razonamientos lógicos, se puede completar el kakuro de la única forma posible.

Para resolver los Kakuros es muy útil conocer la lista de sumas únicas. Por ejemplo, con dos celdas o casillas, el 3 sólo se puede obtener con 1 y 2, y el 4 con 1 y 3; además el 17 sólo se puede obtener con 8 y 9, y el 16 con 7 y 9. Con tres celdas, el 6 sólo se puede obtener con 1, 2 y 3, el 7 con 1, 2 y 4; además el 24 sólo se puede obtener con 7, 8 y 9, y el 23 con 6, 8 y 9. Una lista completa de todas las sumas únicas según el número de casillas está, por ejemplo, en esta dirección.

Este tutorial se puede ampliar más, pero cada persona, con práctica y desarrollando sus propios recursos lógicos debe ser capaz de ir enfrentándose a kakuros de nivel cada vez más avanzado. Una página recomendable para jugar al kakuro online es www.kakuro.com.

Referencia:

El Matenavegante, http://elmatenavegante.blogspot.com/

Patrones Mentales

Después de la clase y video de patrones mentales me vi bastante interesado en el tema y quisiera compartir este sentimiento que me reta a romper mi rutina por medio de los siquientes videos.